expresiones algebraicas y polinomio - teoria

 Alejandro Salazar

blog académico

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 EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es un conjunto de números y letras separados por los signos de las operaciones fundamentales: +,-,

Ejemplos:

Ø TÉRMINO: Es cada una de las partes de la expresión algebraica que están separadas por los signos operativos + y/o -.

En las expresiones algebraicas anteriores se tiene que: La expresión b. consta de un solo término (monomio), las expresiones a y c. tienen dos términos (binomios) y la expresión d. tiene tres términos (trinomios).

Ø GRADO DE UN TÉRMINO: Puede ser relativo o absoluto:

* Relativo: Se da con respecto al exponente de una de las letras del término, así por ejemplo: El término 3x2y4z3 es de segundo grado con respecto a la variable “x”, de cuarto grado con respecto a la variable “y” y de tercer grado con respecto a la variable “z”.

* Absoluto: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término anterior es de grado absoluto 9 (2+4+3). De igual forma el grado absoluto del término 4x3yz4 es 8 (3+1+4).

NOTA IMPORTANTE: Para que un término pueda tener grado los exponentes de sus variables deben ser enteros positivos.

Ø CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS:

a. Homogéneos: Son dos o más términos que tienen el mismo grado absoluto, como por ejemplo: 3x2y3z4 y 4xy5w3 son homogéneos porque ambos tienen el mismo grado absoluto (9).

b. Heterogéneos: Son dos o más términos que tienen diferente grado absoluto. Ejemplo: 4a3b2c (grado 6) y - (7/3)a2b3c4 (grado 9).

c. Semejantes: Son aquellos términos que tienen la misma parte literal con igual exponente. Ejemplo:

Ø VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es el valor que se obtiene al sustituir cada variable de la expresión por un valor numérico previamente dado.

POLINOMIOS

Ø DEFINICIÓN INTUITIVA: Un polinomio es una expresión algebraica de varios términos en la que cada uno de sus coeficientes son números reales y los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

Así por ejemplo: P(x) = 3x2 – 5x + 7x5 – 2. Polinomio en la variable x. 2

Q(x, y) = x2y3 - 5x3y2 + (5/9)x5y2. Polinomio en las variables x, y.

Ø POLINOMIO EN UNA SOLA VARIABLE: Un polinomio en una sola variable (digamos x) es una expresión de la forma: p(x) = anxn  an-1xn-1  an-2xn-2  ... a1x1  a0x0 (a0), donde cada coeficiente numérico del polinomio (ai, i = 1,n) es un número bien sea real o complejo. Además los exponentes de la variable son enteros no negativos y el mayor exponente de la variable indica el grado del polinomio.

El término que no posee variable se denomina término independiente del polinomio.

Ø ORGANIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Un polinomio puede ordenarse en forma ascendente o en forma descendente:

 En forma ascendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término independiente siguiendo con los términos que tienen las potencias de menor a mayor hasta llegar al término que tiene la mayor potencia de la variable.

 En forma descendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término que contiene la mayor potencia de la variable siguiendo con los términos que tiene las potencias de mayor a menor hasta llegar al término independiente del polinomio.

7

Ejemplo: P(x) = 5 – 7x – 9x2 + x3 + (2/7)x4. (En forma ascendente de grado 4). 7

P(x) = (2/7)x4 + x3 – 9x2 – 7x + 5. (En forma descendente).

NOTA: Como un polinomio es también una expresión algebraica, también se clasifican en binomios, trinomios y demás dependiendo del número de términos que tenga.

Ø POLINOMIO EN VARIAS VARIABLES: Son polinomios en los cuales cada uno de sus términos tienen a su vez varias variables. Pueden clasificarse en homogéneos y en heterogéneos.

Los polinomios en varias variables tienen dos tipos de grado: Relativo y absoluto:

 Grado relativo: Cuando el grado se da con base al mayor exponente de una de sus variables.

 Grado absoluto: Lo da el término que tiene el mayor grado absoluto.

 Polinomios homogéneos: Cuando todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

 Polinomios heterogéneos: Cuando no todos sus términos no son del mismo grado absoluto.

Observemos los siguientes ejemplos para observar mejor como se halla el Grado Relativo y absoluto de un polinomio en varia variables:

Grado relativo: 4a3b2 +5a5b	En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como variables tenga el polinomio. Entonces tendremos dos grados relativos (hay dos variables).
4a3b2 +5a5b1	Estamos viendo que para el caso de la variable a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la variable a al mayor de estos exponentes (en este caso 5) GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la variable a es 5)
4a3b2 +5a5b1	Para la variable b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha variable (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2). GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la variable b es 2)

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS:

1. SUMA y/o RESTA: Se suman algebraicamente los coeficientes de aquellos términos semejantes y al resultado se le coloca la misma parte literal.

2. MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar polinomios se puede aplicar la propiedad distributiva teniendo en cuenta que primero se multiplican los signos de los respectivos términos a multiplicar, luego se multiplican los coeficientes numéricos y finalmente se multiplica la parte literal teniendo en cuenta la propiedad de la potenciacion  producto de potencias de igual base (si es del caso).

3. DIVISIÓN:

a. Monomio con monomio: Se dividen los signos, luego se dividen (o simplifican los coeficientes numéricos) y finalmente se divide la parte literal teniendo en cuenta la propiedad de la potenciacion  división de potencias de igual base (si es del caso).

b. Polinomio con monomio: Se divide cada término del polinomio entre el monomio (ten en cuenta que: (a  b  c d)/e = a/e  b/e  c/e  d/e) y luego se aplica la división de monomio por monomio indicada anteriormente.

c. Polinomio por polinomio: En clase el profesor explicará el método y resolverá las siguientes divisiones, pero ten en cuenta que tanto el dividendo como el divisor se deben ordenar en forma descendente y el dividendo debe ser un polinomio completo, de lo contrario se debe dejar el espacio de aquellos términos cuyas potencias no aparezcan.