RADICACION - TEORIA

 RADICACIÓN:

La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado. Se puede observar que   la radicación es una operación inversa de la potenciación.

El número que esta dentro de la raíz (al que se le quiere hallar la raíz) se llama radicando ó cantidad subradical, el grado de la raíz se llama índice del radical e indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando; el resultado se llama raíz.

 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

     1.

      2.  RAÍZ DE UN PRODUCTO:   

           La raíz de un producto es igual al producto de las raices     

          Y si se multiplica dentro del radical, el resultado será el mismo:

.  RAÍZ DE UN COCIENTE: 

           La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces, por ejemplo: 

      4.  POTENCIA DE UNA RAÍZ:

      5.  RAÍZ DE UNA RAÍZ:  

            Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se       conserva la cantidad subradical.  

                                                     

   Esto nos indica que si la potencia es igual al índice del radical se         cancela la raíz y queda la misma cantidad subradical.

 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Consiste en obtener un radical con una cantidad subradical menor.  Para ello es necesario expresar la cantidad subradical como un producto de factores primos (los números se descomponen y los polinomios se factorizan).  En clase se explicará esta simplificación.

               

 OPERACIONES ENTRE RADICALES

• Suma  y/o resta: Para sumar y/o restar radicales éstos deben ser semejantes (igual índice e igual cantidad subradical).  Si son semejantes entonces se suman y/o restan los coeficientes de los radicales y al resultado se le coloca el mismo radical.  En caso de no ser semejantes se mira si se pueden simplificar para obtener semejantes y luego de serlo se sigue el procedimiento anterior.  

REQUISITO INDISPENASABLE PARA SUMAR Y/O RESTAR RADICALES:  Que sean semejantes.

  

• Multiplicación: Para multiplicar radicales se multiplican los coeficientes de los radicales entre sí y luego las cantidades subradicales y finalmente se analiza si el radical resultante se puede simplificar (ten en cuenta las propiedades vistas de los radicales). 

      REQUISITO INDISPENASABLE PARA MULTIPLICAR RADICALES: No necesitan ser semejantes pero sí que tengan el mismo índice.   

• DIVISIÓN: Se procede de igual forma que en la multiplicación pero dividiendo coeficientes y cantidades subradicales entre sí y luego se simplifica el radical resultante tal y como se explicó anteriormente.

                            

fracciones algebraicas - teoria

A. Definición: Son aquellas fracciones donde el denominador y/o numerador son expresiones algebraicas.


B. Clasificación: Las fracciones algebraicas pueden ser simples o compuestas (complejas)

1. Simples: son aquellas donde el numerador y/o el denominador son monomios o polinomios.

2. Compuestas: son aquellas donde el numerador y/o denominador están formadas por otras fracciones.


   
C. Simplificación de fracciones algebraicas simples: Para simplificar una fracción algebraicas simple, es necesario primero factorizar completamente el numerador y el denominador (si es posible) ; luego se cancelan los factores que hay comunes en el numerador y en el denominador.

Nota: Cuando en el numerador y en el denominador aparece un polinomio como factor pero sus términos están con diferente signo, entonces, bien sea en el numerador o en el denominador (preferiblemente al numerador) se saca en dicho polinomio un menos como factor común para que los signos de sus términos cambien y quede el mismo factor tanto en el numerador como en el denominador y poderlos cancelar.



D.  Operaciones con fracciones algebraicas simples:

 Suma y/o Resta: Para sumar y/o restar fracciones simples se procede así:

1) Factorizo el numerador y el denominador y se simplifican las fracciones dadas (sino se simplifica nada los numeradores se dejan sin factorizar pero los denominadores sí se dejan factorizados)

2) Luego se busca el mínimo común múltiplo en los denominadores y se toma éste como mínimo común denominador

3) Se divide este mínimo común múltiplo por cada denominador y el resultado se multiplica por el respectivo numerador

4) Se efectúan las operaciones dadas en el numerador y el resultado se trata de factorizar    para simplificar la fracción resultante (SI ES POSIBLE)

 Multiplicación: Para multiplicar fracciones simples se procede así:

1) Se factorizan completamente todos los numeradores y los denominadores de cada una de las fracciones y se tratan de simplificar.

2) Luego se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí dejando indicados los productos para observar qué otras simplificaciones se pueden hacer.

3) Se efectúan las operaciones dadas en el numerador y el resultado se trata de factorizar    para simplificar la fracción resultante (SI ES POSIBLE)

 División: Para dividir fracciones simples se aplica la división de fraccionarios así:                   y luego se procede como en la multiplicación.

factorización y productos notables - ejercicios

productos notables y factorizacion - teoria

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PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION.

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación
que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización
de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y
recíprocamente.
En el siguiente cuadro se resumen las expresiones ó modelos matemáticos para los productos
notables:
Productos notables:
1. Cuadrado de la suma de un
binomio:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Cuadrado de la diferencia de un
binomio
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Suma por diferencia de un
binomio (binomios
conjugados):
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Cubo de la suma de un
binomio:
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

5. Cubo de la diferencia de un binomio
( a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

7. Cubo de un trinomio:
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) . (b + c) . (a + c)

8. Producto de dos binomios que tienen un término
común
(x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab






DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL (FACTORIZACIÓN).

Factorización en los enteros: Factorizar un polinomio es llevarlo a un producto de
factores primos. Para factorizar un polinomio se recomienda seguir los siguientes pasos:
a. Observar primero si tiene factor común (tanto literal como numérico).
b. Luego mirar cuántos términos tiene el polinomio y se analiza lo siguiente:



 Si es binomio se mira el siguiente orden:
- Diferencia de cuadrados perfectos: a2 – b2 = (a+b)(a-b).
- Diferencia de cubos perfectos: a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2).
- Suma de cubos perfectos: a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2).
- Suma y/o diferencia de potencias iguales: (a  b)n
 Si es trinomio se mira el siguiente orden:
- Trinomio cuadrado perfecto.
- Trinomio de la forma x2  bx  c.
- Trinomio de la forma ax2  bx  c.
- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
- Trinomio en una sola variable de forma no conocida (potencia mayor que 2):
Se emplea la división sintética (evaluación o teorema del factor)
 Si tiene más de tres términos se mira agrupación de términos combinando los casos
anteriores. Si tiene más de tres términos que no se pueden agrupar, se analiza división
sintética.

expresiones algebraicas y polinomios - ejercicios

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Ejercicios sobre expresiones algebraicas y polinomios.

Hallar el valor numérico para cada una de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo con los valores dados para sus respectivas variables

7x^2 y^3-5xy^2+∛(-x)/2+√y/2   sabiendo que x= -8 , y=4

-x^2 y-2/3 xy^2+1/2 y^2   sabiendo que x=1⁄2, y=(-1)⁄4

(a+b/d)/(d-b)  .(5+2/m^2 )/p^2    a=1, b=2, d=4, m=  1⁄2, p=  1⁄4

Efectúa y simplifica

Si q(x)= a^(x+2)-a^x+a^(x+1);  p(x)=〖-3a〗^(x+3)-a^(x+1)+a^(x+2)

Hallar q(x).p(x),  p(x)-q(x),  q(x)+p(x)

expresiones algebraicas y polinomio - teoria

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 EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es un conjunto de números y letras separados por los signos de las operaciones fundamentales: +,-,

Ejemplos:

Ø TÉRMINO: Es cada una de las partes de la expresión algebraica que están separadas por los signos operativos + y/o -.

En las expresiones algebraicas anteriores se tiene que: La expresión b. consta de un solo término (monomio), las expresiones a y c. tienen dos términos (binomios) y la expresión d. tiene tres términos (trinomios).

Ø GRADO DE UN TÉRMINO: Puede ser relativo o absoluto:

* Relativo: Se da con respecto al exponente de una de las letras del término, así por ejemplo: El término 3x2y4z3 es de segundo grado con respecto a la variable “x”, de cuarto grado con respecto a la variable “y” y de tercer grado con respecto a la variable “z”.

* Absoluto: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término anterior es de grado absoluto 9 (2+4+3). De igual forma el grado absoluto del término 4x3yz4 es 8 (3+1+4).

NOTA IMPORTANTE: Para que un término pueda tener grado los exponentes de sus variables deben ser enteros positivos.

Ø CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS:

a. Homogéneos: Son dos o más términos que tienen el mismo grado absoluto, como por ejemplo: 3x2y3z4 y 4xy5w3 son homogéneos porque ambos tienen el mismo grado absoluto (9).

b. Heterogéneos: Son dos o más términos que tienen diferente grado absoluto. Ejemplo: 4a3b2c (grado 6) y - (7/3)a2b3c4 (grado 9).

c. Semejantes: Son aquellos términos que tienen la misma parte literal con igual exponente. Ejemplo:

Ø VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es el valor que se obtiene al sustituir cada variable de la expresión por un valor numérico previamente dado.

POLINOMIOS

Ø DEFINICIÓN INTUITIVA: Un polinomio es una expresión algebraica de varios términos en la que cada uno de sus coeficientes son números reales y los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

Así por ejemplo: P(x) = 3x2 – 5x + 7x5 – 2. Polinomio en la variable x. 2

Q(x, y) = x2y3 - 5x3y2 + (5/9)x5y2. Polinomio en las variables x, y.

Ø POLINOMIO EN UNA SOLA VARIABLE: Un polinomio en una sola variable (digamos x) es una expresión de la forma: p(x) = anxn  an-1xn-1  an-2xn-2  ... a1x1  a0x0 (a0), donde cada coeficiente numérico del polinomio (ai, i = 1,n) es un número bien sea real o complejo. Además los exponentes de la variable son enteros no negativos y el mayor exponente de la variable indica el grado del polinomio.

El término que no posee variable se denomina término independiente del polinomio.

Ø ORGANIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Un polinomio puede ordenarse en forma ascendente o en forma descendente:

 En forma ascendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término independiente siguiendo con los términos que tienen las potencias de menor a mayor hasta llegar al término que tiene la mayor potencia de la variable.

 En forma descendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término que contiene la mayor potencia de la variable siguiendo con los términos que tiene las potencias de mayor a menor hasta llegar al término independiente del polinomio.

7

Ejemplo: P(x) = 5 – 7x – 9x2 + x3 + (2/7)x4. (En forma ascendente de grado 4). 7

P(x) = (2/7)x4 + x3 – 9x2 – 7x + 5. (En forma descendente).

NOTA: Como un polinomio es también una expresión algebraica, también se clasifican en binomios, trinomios y demás dependiendo del número de términos que tenga.

Ø POLINOMIO EN VARIAS VARIABLES: Son polinomios en los cuales cada uno de sus términos tienen a su vez varias variables. Pueden clasificarse en homogéneos y en heterogéneos.

Los polinomios en varias variables tienen dos tipos de grado: Relativo y absoluto:

 Grado relativo: Cuando el grado se da con base al mayor exponente de una de sus variables.

 Grado absoluto: Lo da el término que tiene el mayor grado absoluto.

 Polinomios homogéneos: Cuando todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

 Polinomios heterogéneos: Cuando no todos sus términos no son del mismo grado absoluto.

Observemos los siguientes ejemplos para observar mejor como se halla el Grado Relativo y absoluto de un polinomio en varia variables:

Grado relativo: 4a3b2 +5a5b	En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como variables tenga el polinomio. Entonces tendremos dos grados relativos (hay dos variables).
4a3b2 +5a5b1	Estamos viendo que para el caso de la variable a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la variable a al mayor de estos exponentes (en este caso 5) GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la variable a es 5)
4a3b2 +5a5b1	Para la variable b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha variable (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2). GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la variable b es 2)

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS:

1. SUMA y/o RESTA: Se suman algebraicamente los coeficientes de aquellos términos semejantes y al resultado se le coloca la misma parte literal.

2. MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar polinomios se puede aplicar la propiedad distributiva teniendo en cuenta que primero se multiplican los signos de los respectivos términos a multiplicar, luego se multiplican los coeficientes numéricos y finalmente se multiplica la parte literal teniendo en cuenta la propiedad de la potenciacion  producto de potencias de igual base (si es del caso).

3. DIVISIÓN:

a. Monomio con monomio: Se dividen los signos, luego se dividen (o simplifican los coeficientes numéricos) y finalmente se divide la parte literal teniendo en cuenta la propiedad de la potenciacion  división de potencias de igual base (si es del caso).

b. Polinomio con monomio: Se divide cada término del polinomio entre el monomio (ten en cuenta que: (a  b  c d)/e = a/e  b/e  c/e  d/e) y luego se aplica la división de monomio por monomio indicada anteriormente.

c. Polinomio por polinomio: En clase el profesor explicará el método y resolverá las siguientes divisiones, pero ten en cuenta que tanto el dividendo como el divisor se deben ordenar en forma descendente y el dividendo debe ser un polinomio completo, de lo contrario se debe dejar el espacio de aquellos términos cuyas potencias no aparezcan.

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ejercicios para practicar potenciacion.

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